حل تمرین صفحه 95 ریاضی هشتم

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 95 - فعالیت 1 این فعالیت به شما کمک می‌کند تا **حالت‌های سه‌گانه‌ی هم‌نهشتی مثلث‌ها** را تشخیص دهید: * **ض.ز.ض:** دو ضلع و زاویه‌ی *بین* آن‌ها. * **ز.ض.ز:** دو زاویه و ضلع *بین* آن‌ها. * **ض.ض.ض:** سه ضلع. ### **الف) بررسی حالت الف** در این شکل: 1. یک ضلع مشترک دارند (ضلع بین دو مثلث). 2. یک جفت ضلع دیگر مساوی است (با علامت خط تیره). 3. یک جفت زاویه مساوی است (با علامت کمان آبی). **بررسی کفایت اطلاعات:** زاویه‌ی مساوی داده شده **بین** دو ضلع مساوی نیست. زاویه‌ی بین دو ضلع مساوی (ضلع مشترک و ضلع خط‌دار) زاویه‌ای است که در رأس مشترک قرار می‌گیرد، اما زاویه‌ی داده شده در رأس مجاور است. این حالت، حالت هم‌نهشتی **ض.ض.ز** را تشکیل می‌دهد که فقط در مثلث‌های قائم‌الزاویه (حالت وتر و یک ضلع) همواره هم‌نهشتی را نتیجه می‌دهد. در مثلث‌های عمومی، اطلاعات داده شده برای اثبات هم‌نهشتی **کافی نیست** . $$\mathbf{\text{هم‌نهشتی ثابت نمی‌شود.}}$$ ### **ب) بررسی حالت ب** در این شکل: 1. دو زاویه در رأس مشترک **متقابل به رأس** هستند، پس با هم مساوی‌اند (زاویه‌ی بین). 2. یک جفت زاویه دیگر مساوی است (با علامت یک کمان). 3. یک جفت ضلع مساوی است (با علامت خط تیره). **بررسی کفایت اطلاعات:** ما دو زاویه‌ی مساوی و یک ضلع مساوی داریم. زاویه‌های مساوی عبارت‌اند از زاویه‌ی متقابل به رأس و زاویه‌ی کمان‌دار. ضلع مساوی داده شده **بین** دو زاویه‌ی مساوی قرار نگرفته است. اما، چون می‌دانیم مجموع زوایای داخلی مثلث $180^{\circ}$ است، اگر دو زاویه مساوی باشند، زاویه‌ی سوم هم مساوی خواهد بود. بنابراین، ما دو زاویه‌ی مساوی (زاویه‌ی متقابل به رأس و زاویه‌ی کمان‌دار) و ضلع مساوی را داریم. پس زاویه‌ی سوم نیز مساوی است (حالت $\mathbf{ز.\mathbf{ز}.ض}$). $$\mathbf{\text{مثلث‌ها هم‌نهشت‌اند. حالت هم‌نهشتی: ز.ض.ز} (\text{با استفاده از برابری زاویه‌ی سوم})}$$ ### **ج) بررسی حالت ج** در این شکل: 1. یک جفت ضلع مساوی است (با علامت یک خط). 2. یک جفت ضلع دیگر مساوی است (با علامت دو خط). 3. یک جفت ضلع سوم مساوی است (با علامت سه خط). **بررسی کفایت اطلاعات:** سه ضلع از یک مثلث با سه ضلع از مثلث دیگر برابر است. $$\mathbf{\text{مثلث‌ها هم‌نهشت‌اند. حالت هم‌نهشتی: ض.ض.ض}}$$ --- **خلاصه:** حالت‌های (ب) و (ج) منجر به هم‌نهشتی می‌شوند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 95 - کار در کلاس 2 هدف این تمرین شناسایی اطلاعات پنهان (اجزای مساوی) در اشکال هندسی بر اساس تعریف‌ها و قضایای آن‌ها است تا بتوانیم حالت هم‌نهشتی را مشخص کنیم. ### **الف) دو مثلث متساوی‌الاضلاع (حالت ض.ض.ض)** در این شکل دو مثلث هم‌نهشت دیده می‌شود که قاعده‌ی آن‌ها مشترک است. **اجزای مساوی:** 1. $\overline{AB} = \overline{AC}$ (اضلاع مثلث متساوی‌الاضلاع بالایی) 2. $\overline{DB} = \overline{DC}$ (اضلاع مثلث متساوی‌الاضلاع پایینی) 3. $\overline{AD} = \overline{AD}$ (ضلع مشترک) **حالت هم‌نهشتی:** دو مثلث بر اساس برابری هر سه ضلع، هم‌نهشت هستند. $$\mathbf{\text{حالت هم‌نهشتی: ض.ض.ض}}$$ ### **ب) قطر متوازی‌الاضلاع رسم شده است (حالت ض.ز.ض یا ز.ض.ز)** قطر یک متوازی‌الاضلاع، آن را به دو مثلث تقسیم می‌کند. **اجزای مساوی:** 1. **ضلع:** در متوازی‌الاضلاع، اضلاع روبه‌رو مساوی‌اند: $\overline{AB} = \overline{CD}$ 2. **ضلع:** اضلاع روبه‌رو دیگر مساوی‌اند: $\overline{AD} = \overline{BC}$ 3. **ضلع:** قطر $\overline{AC}$ ضلع مشترک است: $\overline{AC} = \overline{AC}$ **حالت هم‌نهشتی:** دو مثلث $\triangle ABC$ و $\triangle CDA$ بر اساس برابری هر سه ضلع، هم‌نهشت هستند. $$\mathbf{\text{حالت هم‌نهشتی: ض.ض.ض}}$$ **توضیح دیگر (ض.ز.ض):** از آنجا که در متوازی‌الاضلاع، اضلاع روبه‌رو با هم موازی هستند، زوایای داخلی و متناوب نیز برابرند (مثلاً $\hat{DAC} = \hat{BCA}$). بنابراین، می‌توان از حالت **ض.ز.ض** ($\overline{AD} = \overline{BC}$، $\hat{DAC} = \hat{BCA}$، و $\overline{AC}$ ضلع مشترک) نیز استفاده کرد. ### **ج) دو قطر یکدیگر را در مرکز مشترک دو دایره قطع کرده‌اند (حالت ض.ز.ض)** چهار پاره‌خط رسم شده، در واقع قطرهای دو دایره‌ی متحدالمرکز هستند که در مرکز $O$ یکدیگر را قطع کرده‌اند و دو مثلث متقابل به رأس ایجاد کرده‌اند. **اجزای مساوی:** 1. **ضلع (شعاع):** پاره‌خط‌های $\overline{AO}$ و $\overline{OC}$ شعاع‌های دایره‌ی بزرگتر هستند، پس $\overline{AO} = \overline{OC}$. 2. **ضلع (شعاع):** پاره‌خط‌های $\overline{BO}$ و $\overline{OD}$ شعاع‌های دایره‌ی کوچکتر هستند، پس $\overline{BO} = \overline{OD}$. 3. **زاویه:** زوایای $\hat{AOB}$ و $\hat{COD}$ **متقابل به رأس** هستند، پس مساوی‌اند: $\hat{AOB} = \hat{COD}$. **حالت هم‌نهشتی:** دو مثلث $\triangle AOB$ و $\triangle COD$ بر اساس برابری دو ضلع و زاویه‌ی بین آن‌ها، هم‌نهشت هستند. $$\mathbf{\text{حالت هم‌نهشتی: ض.ز.ض}}$$

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 95 - تمرین 3 این سؤال به بررسی حالت $\mathbf{ز.\mathbf{ز}.ض}$ (دو زاویه و یک ضلع غیر محصور) می‌پردازد. این حالت، یک حالت هم‌نهشتی معتبر برای مثلث‌های عمومی است و همواره نتیجه می‌دهد که دو مثلث با هم هم‌نهشت هستند. ### **بررسی قضیه:** 1. **دو زاویه مساوی:** فرض کنید در دو مثلث $\triangle ABC$ و $\triangle DEF$ داشته باشیم: $$\hat{A} = \hat{D} \quad \text{ و } \quad \hat{B} = \hat{E}$$ 2. **زاویه‌ی سوم:** از آنجا که مجموع زوایای داخلی مثلث همواره $180^{\circ}$ است، اگر دو زاویه مساوی باشند، حتماً زاویه‌ی سوم نیز مساوی خواهد بود: $$\hat{C} = 180^{\circ} - (\hat{A} + \hat{B}) \quad \text{ و } \quad \hat{F} = 180^{\circ} - (\hat{D} + \hat{E}) \implies \hat{C} = \hat{F}$$ 3. **ضلع مساوی (غیربین):** اگر یک ضلع غیربین، مثلاً $\overline{BC}$ و $\overline{EF}$، نیز مساوی باشند ($\overline{BC} = \overline{EF}$). 4. **تبدیل به حالت ز.ض.ز:** حالا ما می‌توانیم از حالت **ز.ض.ز** استفاده کنیم. ضلع $\overline{BC}$ در بین دو زاویه‌ی $\hat{B}$ و $\hat{C}$ قرار دارد (و $\overline{EF}$ بین $\hat{E}$ و $\hat{F}$). چون $\hat{B} = \hat{E}$، $\overline{BC} = \overline{EF}$ و $\hat{C} = \hat{F}$، پس دو مثلث هم‌نهشت هستند. ### **نتیجه‌گیری:** چون برابری دو زاویه باعث برابری زاویه‌ی سوم می‌شود، حالت **ز.ز.ض** معادل حالت **ز.ض.ز** است. بنابراین: $$\mathbf{\text{الف) دو مثلث با یکدیگر هم‌نهشت‌اند.}}$$ **توجه:** این حالت همواره برای مثلث‌ها درست است، اما حالت **ض.ض.ز** (دو ضلع و زاویه‌ی غیر محصور) فقط در مثلث قائم‌الزاویه (حالت وتر و یک ضلع) همواره هم‌نهشتی را ثابت می‌کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی هشتم صفحه 95 - کار در کلاس (اثبات عکس قضیه مثلث متساوی‌الساقین) این تمرین هدف اثبات **عکس قضیه‌ی مثلث متساوی‌الساقین** را دنبال می‌کند: اگر دو زاویه‌ی مثلثی با هم برابر باشند، آن مثلث متساوی‌الساقین است. ما باید هم‌نهشتی دو مثلث $\triangle ABD$ و $\triangle ACD$ را با استفاده از حالت **ز.ض.ز** ثابت کنیم. ### **اثبات هم‌نهشتی (حالت ز.ض.ز)** **مفروضات:** 1. $\hat{B} = \hat{C}$ (داده شده) 2. $\overline{AD}$ نیمساز $\hat{A}$ است (داده شده)، پس $\hat{A_1} = \hat{A_2}$ **گام ۱: تساوی زوایای $\hat{D_1}$ و $\hat{D_2}$ (راهنمایی سؤال)** مجموع زوایای داخلی مثلث $180^{\circ}$ است: * در $\triangle ABD$: $\hat{D_1} = 180^{\circ} - (\hat{A_1} + \hat{B})$ * در $\triangle ACD$: $\hat{D_2} = 180^{\circ} - (\hat{A_2} + \hat{C})$ چون $\hat{A_1} = \hat{A_2}$ و $\hat{B} = \hat{C}$، پس مجموع زوایای داخل پرانتز در هر دو مثلث برابر است، در نتیجه: $$\mathbf{\hat{D_1} = \hat{D_2}}$$ **گام ۲: اثبات هم‌نهشتی $\triangle ABD$ و $\triangle ACD$** حالا با استفاده از حالت **ز.ض.ز** عمل می‌کنیم: 1. **زاویه:** $\hat{B} = \hat{C}$ (داده شده) 2. **ضلع:** $\overline{BC}$ **ضلع مشترک** است (ضلع بین دو زاویه‌ی $\hat{B}$ و $\hat{D_1}$ در $\triangle ABD$ و $\hat{C}$ و $\hat{D_2}$ در $\triangle ACD$ نیست). بنابراین، از حالت **ز.ض.ز** استفاده می‌کنیم (ضلع $\overline{AD}$ ضلع مشترک نیست، $\overline{BC}$ ضلع مشترک است. این اشتباه در تصویر است؛ $D$ وسط $\overline{BC}$ نیست.) **اصلاح اثبات با توجه به رسم نیمساز $\overline{AD}$:** 1. **زاویه:** $\hat{B} = \hat{C}$ (داده شده) 2. **زاویه:** $\hat{A_1} = \hat{A_2}$ (چون $\overline{AD}$ نیمساز است) 3. **ضلع:** $\overline{AD}$ **ضلع مشترک** است ($verline{AD} = \overline{AD}$) (ضلع $\overline{AD}$ بین $\hat{A_1}$ و $\hat{D_1}$ قرار دارد). **حالت استفاده شده:** **ز.ز.ض** ($\hat{B}$، $\hat{A_1}$ و ضلع $\overline{AD}$) یا **ز.ز.ز** (که حالت هم‌نهشتی نیست) است. از **حالت ز.ض.ز** استفاده می‌کنیم (با استفاده از برابری $\hat{D_1} = \hat{D_2}$): 1. **زاویه:** $\hat{B} = \hat{C}$ (داده شده) 2. **ضلع:** $\overline{AD} = \overline{AD}$ (ضلع مشترک) 3. **زاویه:** $\hat{D_1} = \hat{D_2}$ (ثابت شد) پس $\mathbf{\triangle ABD \cong \triangle ACD}$ (حالت **ز.ض.ز**) ### **نتیجه‌گیری: برابری اضلاع $\overline{AB}$ و $\overline{AC}$** چون دو مثلث هم‌نهشت هستند، اضلاع متناظر آن‌ها نیز برابرند. ضلع $\overline{AB}$ متناظر ضلع $\overline{AC}$ است: $$\mathbf{\overline{AB} = \overline{AC}}$$ ### **نتیجه‌گیری نهایی (کامل کردن عبارت):** اگر در مثلثی دو زاویه برابر باشند، آن مثلث $\mathbf{\text{متساوی‌الساقین}}$ است.